Выпуклость и вогнутость функции

Выпуклость и вогнутость функции

Дана функция у = f (x) На интервале (а, b) функция у = f (x) непрерывна и дифференцируема, причем f '(x) >0 Постройте эскиз графика функции у = f (x) интервале (а, b)

Дана функция у = f (x) Чем отличается поведение линий? Одна из них – отрезок прямой Другая проходит над отрезком Третья – под отрезком А четвертая – частично над отрезком, частично под ним

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости и вогнутости графика функции

Выпуклость и вогнутость функции Геометрический смысл второй производной

Выпуклая вверх (выпуклая кривая) Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной

Выпуклая вниз (вогнутая кривая) Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной

Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая) у

Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая) у

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

Если вторая производная функции Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута а если отрицательна – выпукла в этом промежутке

Точки, в которых выпуклость Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции: Найти: Вторую производную Точки, в которых она равна нулю или не существует Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками Знаки второй производной в каждом интервале Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла, если f '‘(х) > 0 – вогнута.

Исследование функции с помощью второй производной

График функции График функции у = f (х) – вогнутая кривая

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба Вариант 1 у = х³ - 12х + 4

Проверка Вариант 1 у = х³ - 12х + 4 х – любое число f'(х) = 3х² - 12 f''(х) = 6х 6х = 0 х = 0

Проверка Вариант 2 у = ¼ х4 – 3/2 х² х – любое число f'(х) = х³ - 3х f''(х) = 3х² - 3 = 3(х – 1)(х + 1) х = 1 х = -1

Спасибо за работу Успехов!