Вписанные и описанные многогранники

Реферат на тему «Вписанные и описанные многогранники» (Математика) Выполнили: ученицы 11 класса Б гимназии № 12 Злова Виктория и Обедина Екатерина Проверила: Третьякова Н. А.

Цель работы состоит в том, чтобы узнать весь теоретический материал по теме «Вписанные и описанные многогранники» и научиться применять его на практике.

Правильные многогранники

Многогранники, вписанные в шар Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему.

Пирамида, вписанная в шар Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Формула для нахождения радиуса описанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, R - радиус окружности, описанной около основания. Найдем радиус описанной сферы. Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO1 и SAO. Тогда SO1/SA = KS/SO; R1 = KS · SA/SO Но KS = SA/2. Тогда R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 +R2)/(2h); R1 = b2/(2h), где b - боковое ребро.

Призма, вписанная в шар Теорема: Около призмы можно описать шар только в том случае, если призма является прямой и около ее основания можно описать окружность.

Параллелепипед, вписанный в шар Теорема: Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае он является прямым и около его основания - параллелограмма - может быть описана окружность (т. к. основание - прямоугольник).

Конус и цилиндр, вписанные в шар Теорема: Около всякого конуса можно описать сферу.

Многогранники, описанные около шара Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Положение центра вписанной сферы Понятие биссекторной плоскости двугранного угла. Биссекторной называется плоскость, делящая двугранный угол на два равных двугранных угла. Каждая точка этой плоскости равноудалена от граней двугранного угла.

Пирамида, описанная около шара Шар, называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания). Теорема: Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар. Так как двугранные углы при основании равны, то их половинки тоже равны  биссектрисы пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка принадлежит всем биссекторным плоскостям при основании пирамиды и  равноудалена от всех граней пирамиды – центр вписанного шара.

Формула для нахождения радиуса вписанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, r - радиус вписанной окружности. Найдем радиус описанной сферы. Пусть SO = h, OH = r, O1O = r1. Тогда по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника O1O/OH = O1S/SH; r1/r = (h – r1)/ ; r1 · = rh – rr1; r1 · ( + r) = rh; r1 = rh/( + r). Ответ: r1 = rh/( + r).

Призма, описанная около шара Теорема: Сферу можно вписать в призму тогда и только тогда, когда призма прямая и в основание можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.

Параллелепипед и куб, описанные около шара Теорема: В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание - ромб, причем высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность)

Цилиндр и конус, описанные около шара Теорема: Сферу можно вписать лишь в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания.