Методика преподавания математики в университете

abvil » 05 мар 2012, 16:18
К вопросу о математической культуре преподавателя
В. Г. Абдрахманов

В последние годы прослеживается пренебрежительное отношение части преподавателей к своей математической культуре. И это прискорбно, так как содействует успеху комплекса мероприятий, направленных на ликвидацию системы образования в стране (ЕГЭ, болонизация, сокращение часов по математике и т. д. ). Здесь обсудим два простых компонента математической культуры, пренебрежение которыми приводит к немедленному и надежному отрицательному эффекту:
– адекватное использование математических терминов;
– употребление единообразных современных обозначений, принятых в математических публикациях.

Многолетний опыт преподавания математики в вузе показывает, что от частого употребления того или иного понятия мы перестаем вдумываться в него, глаз постепенно «замыливается», возникают неточности, которые постепенно становятся привычными, в конечном итоге подменяя собой это понятие. Как результат допускаются вольности речи, что отнюдь не способствует усвоению учащимися излагаемого материала. Эти вольности речи иногда приобретают массовый характер и попадают в учебники.

Мы уже не удивляемся тому, что студент часто путает математические понятия. Но не будем его винить в этом: мы ведь сами приучали его к неточностям. Вот примеры из книг по линейной алгебре.

«В определителе имеются первая, вторая и третья строки» [Бугров Я. С. и Никольский С. М. , 1980 г.], «определитель, имеющий два одинаковых столбца, равен нулю» [Курош А. Г. , 1963 г. ], «имеется хотя бы один ненулевой определитель с r строками и r столбцами» [Пизо Ш., Заманский М. , 1971 г. ] (хотя определитель матрицы – это число, а число не имеет строк и столбцов). В тексте доказательства теоремы о базисном миноре [Ильин В. А. , 1974 г. ] встречается словосочетание «базисный минор расположен в верхнем левом углу матрицы». Подобная вольность речи попадается и в других книгах [Воеводин В. В. , 1974 г. ].

Причина такого неаккуратного обращения с терминологией понятна: она обусловлена естественным стремлением преподавателя лаконично изложить материал. Что касается изложения свойств определителей, то его можно без особого труда сделать и корректным и в то же время лаконичным. Например, будет корректно выражение «Определитель матрицы, имеющей одинаковые строки (столбцы) равен нулю», или выражение «Разложение определителя матрицы по первой ее строке» и т.п. Дело обстоит сложнее, когда мы вводим понятие ранга матрицы. Здесь возникают объективные сложности при попытке корректного и одновременно лаконичного изложения материала. К примеру, выражение «базисный минор расположен в верхнем левом углу матрицы» следовало бы сформулировать так: «подматрица, для которой базисный минор является определителем, расположен в верхнем левом углу матрицы» (такую формулировку трудно назвать лаконичной). Как видим, неуклюжесть формулировок связана с неудобным определением минора матрицы.

Мы считаем, что можно радикально изменить эту ситуацию, отказавшись вообще от термина «минор матрицы», и это тем более целесообразно, что студенты редко различают минор матрицы от минора элемента. Вместо этого лучше пользоваться понятием субматрицы (или подматрицы). При этом подходе ранг матрицы надо определять как наибольший порядок ее невырожденных квадратных субматриц. Понятно, что теорема о базисном миноре должна быть названа теоремой о базисной субматрице.

Заметим, что при таком подходе можно корректно и кратко излагать и другие вопросы линейной алгебры (элементарные преобразования матриц, теорию Кронекера-Капелли и т.д.). Правда, в теореме Лапласа используется минор матрицы, но без этой теоремы можно обойтись, так как она используется только один раз для доказательства теоремы об определителе произведения матриц. А эту теорему можно доказать (и при этом более доступно), пользуясь элементарными матрицами [Беклемишев Д. В. , 1984 г. ].

Далее обратим внимание на желательность употребления единообразных современных математических обозначений. Как пример возьмем обозначения точки и вектора в трехмерном пространстве. По нашим наблюдениям, некоторые преподаватели пользуются устаревшими обозначениями: A(x,y,z) (точка), a{x,y,z} (вектор). В современной математической литературе точка и ее радиус-вектор отождествляются с тройкой чисел и потому обозначаются одинаково: a=(x,y,z). В учебных целях можно пользоваться различимыми обозначениями A=(x,y,z) (точка), a=(x,y,z) (вектор). Использование несовпадающих обозначений лектором и преподавателем, ведущим практические занятия, нежелательно.

Валерия Пандора » 03 май 2016, 16:41
Благодаря преподавателю математики в школе, а затем и в ВУЗе я с математикой можно сказать на ТЫ. Самое главное - это правильный подход в обучении, а также природная предрасположенность обучаемого к математическим наукам.

Вернуться в Высшее образование



cron